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第1章 上一章注释001（第2页）

succ和zero两个基本函数组成了我们要的one，完美。

如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器add，add（x，y）=x+y，怎么用那三种基本函数组合？

也很简单，从具体输入入手：

add（3，2）=succ（add（3，1））=succ（succ（add（3，0）））=succ（succ（3））

似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。

当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add（3，0）=3。

所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：

add（x，y+1）=succ（add（x，y）），这个式子是十分严谨的。

更具体地，要想算出add（x，y+1），就要知道add（x，0）=x，我们称add（x，0）=x为基准条件；add（x，y+1）=succ（add（x，y））为递归条件。

看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出add（x，0）=x，就能得到add（x，y+1），也就能构造出我们想要的加法器。

也很显然，add（x，0）=x=proj11

于是，我们的加法器有了。

这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：

基准函数f:Nn—N

递归函数g:Nn+2—N

使用f和g的原始递归h=pn（f，g）:Nn+1—N

对于h:

基准条件：h（x1，。。。xn，0）=f（x1，。。。，xn）

递归条件:h（x1，。。。，xn，y+1）=g（x1，。。。，xn，y，h（x1，。。。，xn，y））

回到我们的加法器add：

add:N2→N

add（x，y）=x+y=p1（f，g）

基准条件：add（x，0）=f（x）=proj11

递归条件：add（x，y+1）=g（x，y，add（x，y））=succ（add（x，y）），g=succ·[proj33]

add=p1（proj11，succ·[proj33]）

完美无瑕。

类似地，乘法器mult=p1（zero，add·[proj13，proj33]）

前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，succ三种原始函数和组合·，原始递归p这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。

那么“偏函数”呢？

构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。

如果我们有一个函数f:N^n+1—N（这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了），具体的f（a1，。。。an，x），其中a1，。。。an是固定参数，x是可变参数。

那么最小化操作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出

比如f（5，4，3，2，1，0）=0

如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。

比如f（5，4，3，2，1，1）=1

假设我们有一个投影函数长这样：