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第40章（第2页）

因为1=0，所以1+1可以写成1+0。

根据加法定义m+n=（m+n），当m=1，n=0时，1+0=（1+0）。

又因为前面已经证明1+0=1，所以（1+0）=1。

而我们之前定义2=1，所以1+1=2。

林云完成了基于皮亚诺公理体系的证明后，并没有停下思考的脚步。

他知道，数学的证明方法是多样的，从不同的角度出发，可能会得到不同的证明思路。

他开始思考集合论的方法。

在集合论中，数可以用集合来表示。

林云在笔记本上画下了一些简单的集合图形，开始从集合的角度进行证明。

他写道：“我们可以用集合的基数来定义自然数。

空集的基数为0，即|?|=0。”

然后，他定义了一个只包含空集的集合，这个集合的基数就是1，即|{?}|=1。

接着，他定义了一个包含前面两个集合的集合，这个集合的基数就是2，即|{?，{?}}|=2。

对于加法，他这样解释：“两个不相交集合的并集的基数等于这两个集合基数的和。”

他在纸上画了两个不相交的圆，分别代表两个集合A和B。

假设集合A的基数为1，即|A|=1，集合B的基数也为1，即|B|=1。

那么A和B的并集C=A∪B。

因为A和B不相交，所以根据集合论中并集基数的定义，|C|=|A|+|B|。

又因为|A|=1，|B|=1，且C={?，{?}}（通过前面集合的定义可以得出），|C|=2。

所以1+1=2。

林云觉得这样的证明还不够直观，他又想到了从逻辑推理的角度来证明。

他在笔记本上写下了一系列的逻辑符号和推理过程：

设命题P（n）表示“1+n=（n+1）”

。

首先证明P（0）成立，即1+0=0+1。

根据加法的交换律（在数学体系中，加法交换律是可以通过公理推导出来的，这里为了简化证明过程，直接使用），1+0=0+1=1，所以P（0）成立。

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假设P（k）成立，即1+k=（k+1）。

现在要证明P（k+1）成立，即1+（k+1）=（（k+1）+1）。